DBSCAN 與階層分群：群集不是只有圓形

K-means把點分給平均中心，但有些群更像沿著彎曲路徑聚在一起，有些點則離任何群都很遠。這時候，「靠近同一個中心」可能不是你需要的相似定義。

DBSCAN用局部鄰域的密度把群擴張，也允許部分點成為噪音；階層分群則保留從小群合併成大群的過程。兩者都需要你決定距離及參數，並不會免除特徵選擇，也不保證自動找出唯一正確的群。

DBSCAN先問：附近是否有足夠多的點？

圖1｜Chire的DBSCAN-Illustration：紅色點是核心點，黃色B／C是邊界點，藍色N是噪音。圓表示相同半徑的鄰域，黑色連線帶細箭頭，示意由核心向鄰居的方向；核心間可雙向，指向B／C不表示邊界點能反向擴張。作者標minPts=3；本篇依sklearn把點本身算入鄰域。來源：Chire，原作品頁，CC BY-SA 3.0 Unported；原始SVG未改。

先決定距離，再指定兩個重要參數：eps是鄰域半徑，min_samples是成為核心點所需的鄰域樣本數。本文無樣本權重，因此直接數點，而且包含自己。

圖中的N雖然有一個大圓，圓也和其他圓重疊，但這不代表它和那些點的距離已落在eps內。判斷的是點到點的距離和核心條件，不是兩個鄰域圓有沒有相交。

群可以沿核心點延伸，邊界點不負責繼續擴張

由一個核心點出發，把它的鄰居納入；遇到另一個核心點，就繼續展開那個核心點的鄰域。這讓群可以沿著密度足夠的路徑延伸，而不必圍繞單一中心。

非核心的邊界點可以被納入，但不能只靠它把兩個本來分離的核心群接成一群。圖1的B與C經由中間的核心群相連，不表示B能單憑自己的鄰域一路擴張到C；「由核心點可達」與任意兩點能彼此直接到達也不同。

若某個非核心點同時鄰近兩個不同核心群，其歸屬可能受走訪順序影響。群號本身也只是標記。因此檢查穩定性時，需要分清核心結構、共享邊界和單純群號置換，不是看到labels改一個數字就當算法完全失效。

五個點，直接數一次鄰域

一維資料0、0.1、0.2、0.4、2.0，設eps=0.21、min_samples=3。半徑刻意選0.21，避免十進位邊界的浮點比較分散這個小例子的重點。

四個近點在同群，最後一點標−1。這也說明eps不是「整個群的最大直徑」：0與0.4距離0.4，大於eps，仍可經核心鄰域連在同群。

有噪音標記，不代表已判定真實異常

圖2｜來源750筆合成blobs、三個指定生成中心、cluster_std=.4、seed=0，先做StandardScaler。這是分群前散點，沒有用顏色畫生成標籤。來源：The scikit-learn developers，Demo of DBSCAN clustering algorithm，BSD-3-Clause；原圖未改。

圖3｜同一資料設eps=.3、min_samples=10，得到三群與18個噪音。大點是core，小點是非core，黑色是noise；不是兩張不同參數的實驗。來源及授權同圖2，原圖未改。本篇程式另重算相同資料／模型設定，得到679個core；沒有重畫來源圖或重跑其全部評估指標。

−1只表示這個距離與密度設定下未被分入群，可能是有意義的稀有樣本、雜訊，也可能是eps太小。它不是已完成調查的詐欺、故障或其他真實異常標籤。

eps太小，可能留下很多噪音、切碎群；太大，可能把不同群接起來。資料尺度一變，同一個0.3代表的鄰近程度也不同。不同群密度差很多時，一個共同eps不一定能同時保住稀疏群又分開密集群；高維距離也可能變得不易區分。不要把「可找非凸形狀」擴成任何資料都有效。

sklearn的DBSCAN沒有和K-means相同的標準predict介面。重新對一批資料fit，鄰域與群可能改變；若要把新點指派給既有核心群，需要另定規則、處理多群可達和無群可達的情況，並驗證那個新增流程。不能把最近中心的程式換個類別名就當部署完成。

階層分群保留的是合併過程

凝聚式階層分群從每筆一群開始，每次選兩群合併，再重算群之間的連結關係。重複之後得到一棵樹；你可以依群數或高度選一個切法，而不只拿到單一固定分割。

圖4｜來源Iris原四維特徵、未先標準化，AgglomerativeClustering採預設Ward；先建完整樹，圖只顯示上面三層。括號數字是子樹樣本數，無括號的數字是單點索引。x排列不是一個連續資料欄位；y是合併高度，不是時間、機率或所有方法通用的兩點原距離。來源：The scikit-learn developers，Plot Hierarchical Clustering Dendrogram，BSD-3-Clause；原圖未改。

看樹狀圖時，兩個枝在較低的位置接起來，表示依這個linkage準則比較早、在較小高度合併。你可以想像畫一條水平線，線以下尚未互相合併的子樹各成一群；實際閾值剛好等於合併高度時，邊界比較規則也要依工具確認。

關鍵在於：兩群「距離」如何定義？改linkage，即使資料相同，也可能合出不同的樹。

四種linkage，用同一對群算出四個高度

single容易沿鄰近點串成長鏈；complete要求連最遠的兩點也不能太遠；average看所有跨群點對；Ward則關心平方誤差增量。Ward不是「兩個中心的普通距離」的另一個名字，它還會考慮兩群的樣本數。

一維資料0、2、7、9，先把0／2合成A、7／9合成B，兩群中心為1、8，各有2筆。接下來：

跨群距離：|0−7|=7、|0−9|=9、|2−7|=5、|2−9|=7
single = 5
complete = 9
average = (7+9+5+7)/4 = 7

Ward的SSE增量 = nA*nB/(nA+nB) * ||meanA−meanB||²
              = 2*2/4 * (1−8)² = 49

sklearn這裡回傳的Ward合併高度是√(2×SSE增量)，所以最後高度√98≈9.899495，不能把49直接填成圖的y軸高度。四種準則在這個小例子的前兩次高度都為2，但這不代表它們對一般資料一定有相同合併順序。

同一份資料換準則，形狀也會跟著變

圖5｜官方六列比較中的同心圓一列：每列1,500筆、先標準化；本列明確要求兩群。左到右single、average、complete、Ward，這是四個不同準則，不是四個迭代步驟。來源：The scikit-learn developers，Comparing different hierarchical linkage methods on toy datasets，BSD-3-Clause；從原圖保留共同欄標與第一列，手機四欄上下排。

在這個來源例，single比較能沿同一個圓的鄰接結構合併；其他準則得到不同切法。這說明準則改變「什麼形狀算近」，不是single在任何資料都比較正確。

圖6｜來源第二列noisy moons、1,500筆、noise=.05、seed=170，要求兩群，欄順序同圖5。截取原第二列並移入原共同欄標，手機逐欄排；點、顏色及原計時未改。不同列是不同合成資料，不是DBSCAN的eps搜尋過程。來源及BSD-3-Clause授權同圖5。

形狀不是唯一因素。如果少量點在兩個區域之間形成橋，single也可能因最近點很近而一路串接；是否希望保留這種連結，要回到任務與噪音條件。

圖7｜來源第三列不等變異blobs、1,500筆、三個生成分布std=1／2.5／.5，要求三群。欄順序同圖5；截取該列並移入原欄標，手機逐欄排。右下角秒數為其硬體與實驗的計時，不是本站實測或通用速度排名。來源及BSD-3-Clause授權同圖5。

以上只選了原例三列來看準則差異；沒有把全部聚類工具排成一個通用排行榜。參數與生成群數在來源已經設定，這不是各工具在未知資料上自行選群數的公平競賽。Ward在某些來源例看起來較穩，也不能推成所有密度、維度或噪音下的最佳方案。

用程式核對密度與合併高度

以下在WSL、Python 3.10.12、NumPy 1.26.3、scikit-learn 1.5.1實跑。它做三件限定的事：驗五點鄰域、重算來源750點DBSCAN的資料與模型設定、驗四點的四種linkage。沒有重跑來源整套計時，也沒有重畫原圖。

將程式存成density_and_linkage.py後執行：

python -m pip install numpy==1.26.3 scikit-learn==1.5.1
python density_and_linkage.py

import numpy as np
import sklearn
from sklearn.cluster import DBSCAN, AgglomerativeClustering
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

print(f"numpy={np.__version__} sklearn={sklearn.__version__}")
X = np.array([0.0, 0.1, 0.2, 0.4, 2.0]).reshape(-1, 1)
eps, min_samples = 0.21, 3
distances = np.abs(X - X.T)
counts = (distances <= eps).sum(axis=1)
db = DBSCAN(eps=eps, min_samples=min_samples).fit(X)
core = set(db.core_sample_indices_)
kinds = ["core" if i in core else "noise" if label == -1 else "border"
         for i, label in enumerate(db.labels_)]
print(f"toy neighbor_counts_including_self={counts.tolist()}")
print(f"toy core_indices={db.core_sample_indices_.tolist()}")
print(f"toy point_types={kinds}")
print(f"toy labels={db.labels_.tolist()}")

# Recompute only the official DBSCAN example's data/model setup, not its plots
# or full metric benchmark. Ground-truth labels are not passed to the model.
raw, _ = make_blobs(n_samples=750,
                    centers=[[1, 1], [-1, -1], [1, -1]],
                    cluster_std=0.4, random_state=0)
scaled = StandardScaler().fit_transform(raw)
source_setup = DBSCAN(eps=0.3, min_samples=10).fit(scaled)
labels = source_setup.labels_
n_noise = np.sum(labels == -1)
n_clusters = len(set(labels)) - int(-1 in labels)
print(f"source_setup n={len(raw)} clusters={n_clusters} noise={n_noise} "
      f"core={len(source_setup.core_sample_indices_)}")

points = np.array([0.0, 2.0, 7.0, 9.0]).reshape(-1, 1)
for method in ["single", "complete", "average", "ward"]:
    tree = AgglomerativeClustering(
        n_clusters=None, distance_threshold=0.0,
        metric="euclidean", linkage=method,
    ).fit(points)
    print(f"{method} children={tree.children_.tolist()} "
          "heights=" + ",".join(f"{x:.6f}" for x in tree.distances_))
delta_sse = (2 * 2 / (2 + 2)) * (1.0 - 8.0) ** 2
print(f"ward_final_delta_SSE={delta_sse:.6f} "
      f"height=sqrt(2*delta)={np.sqrt(2 * delta_sse):.6f}")

實跑五點的鄰居數為3、3、4、2、1；核心索引0／1／2，點型別為core、core、core、border、noise，labels是0、0、0、0、−1。750點設定得到三群、18 noise、679 core，與圖2–3的模型條件相符。

四點的實際合併如下，children_中的編號0–3代表原始點，之後4與5代表前兩次新形成的群：

程式用distance_threshold=0與n_clusters=None建完整樹，此設定也讓distances_提供這裡要讀的合併高度；不能把children_中的節點編號當距離。當前示範使用metric="euclidean"，沒有照搬較舊介面的affinity名稱。

最後要檢查的是你的群定義

對DBSCAN計算silhouette時，也要交代是否保留−1：若把所有噪音當同一個label，便不是忽略噪音的同一個分數。若先排除噪音，需檢查留下的群數與樣本數是否符合指標條件。數字可以協助比較，但不會替你定義哪種群才有意義。

群的形狀、密度與階層是不同觀點。選擇方法時，先說清楚你希望哪些點因為什麼理由放在一起，再用原圖、數值與新資料檢查結果，會比只挑一張最漂亮的彩色散點圖可靠。

原始來源、配圖與授權

技術依據sklearn clustering章、DBSCAN官方原例、Dendrogram原例、Linkage比較原例及完整程式與Chire原作品說明。查核日2026-10-31；線上1.5系列頁目前標1.5.2，本篇實跑1.5.1，stable原圖來源也可能較新。

圖1採Chire原始SVG，CC BY-SA 3.0 Unported；封面將完整圖1等比渲染加白邊，該封面改作同樣依CC BY-SA 3.0提供，不限制於非商業用途。此ShareAlike適用該圖及其改作，不將本站獨立教學文字冒稱為該圖改作。沒有重刊權利未確認的1996論文截圖，也沒有暗示原作者背書。

圖2–7採The scikit-learn developers圖像，BSD-3-Clause。圖2–4未改；圖5–7取原linkage比較的第一、二、三列，各保留原共同欄標；手機把每列四個完整面板按single、average、complete、Ward順序上下排，原有點、色彩、計時均保留，未重畫資料。讀者可由來源連結查看完整六列。

五點DBSCAN與四點linkage是本站自行設計的教學驗算；750點只重算來源的資料／模型設定，未宣稱重現其全部指標或計時。scikit-learn圖像完整聲明如下。

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